Elmagyarázzuk, mit jelent a számozási rendszer, és tanulmányozzuk az egyes rendszertípusok jellemzőit, különböző kultúrákból származó példákon keresztül.
Mi az a számrendszer?
A számrendszer olyan szimbólumok és szabályok összessége, amelyekkel egy számban lévő objektumok száma kifejezhető. készlet, vagyis amelyen keresztül minden érvényes szám ábrázolható. Ez azt jelenti, hogy minden számrendszer tartalmaz egy adott és véges szimbólumkészletet, valamint egy adott és véges szabályhalmazt, amelyekkel kombinálhatók.
A számozási rendszerek az ókorban az egyik fő emberi találmány volt, és mindegyik ókori civilizációnak megvolt a maga rendszere, amely a világ látásmódjához, vagyis a kultúrájához kapcsolódott.
Általánosságban elmondható, hogy a számozási rendszerek három típusba sorolhatók:
- nem pozicionális rendszerek. Ezek azok, amelyekben minden szimbólum egy rögzített értéknek felel meg, függetlenül attól, hogy a számon belül milyen pozíciót foglal el (ha először jelenik meg, akkor az egyik oldalon vagy utána).
- Félpozíciós rendszerek. Ezek azok, amelyekben egy szimbólum értéke általában rögzül, de bizonyos megjelenési helyzetekben módosítható (bár ezek inkább kivételek). A helyzeti és a nem-pozíciós közötti köztes rendszerként értendő.
- Pozíciós vagy súlyozott rendszerek.Ezek azok, amelyekben egy szimbólum értékét a saját kifejezése és a számon belül elfoglalt helye határozza meg, lehet, hogy többet vagy kevesebbet ér, vagy eltérő értékeket fejezhet ki attól függően, hogy hol található.
A számozási rendszerek osztályozása is lehetséges a számításaik alapjául szolgáló számok alapján. Így például a jelenlegi nyugati rendszer decimális (mivel az alapja 10), míg a sumér számozási rendszer hatszázalékos (az alapja 60 volt).
Nem pozíciós számrendszerek
A nem pozíciós számrendszerek voltak az elsők, amelyek a legprimitívebb alapokkal rendelkeztek: ujjak, csomók a kötélen vagy más rögzítési módszerek a számkészletek koordinálására. Például, ha egy kezed ujjain számolsz, akkor egész kezeken számolhatsz.
Ezekben a rendszerekben a számjegyeknek saját értékük van, függetlenül attól, hogy hol helyezkednek el a szimbólumok láncában, és új szimbólumok kialakításához a szimbólumok értékeit hozzá kell adni (ezért additív rendszernek is nevezik). Ezek a rendszerek egyszerűek, könnyen megtanulhatók, de nagy mennyiségek kifejezéséhez számos szimbólumra volt szükség, így nem voltak teljesen hatékonyak.
Példák az ilyen típusú rendszerekre:
- Az egyiptomi számrendszer. A Krisztus előtti harmadik évezred körül alakult ki. C., a tízen alapult és használt hieroglifák minden egységrendhez más: egy az egységhez, egy a tízhez, egy a százhoz és így tovább egészen a millióig.
- Az azték számrendszer. A mexikói birodalomra jellemzően 20 volt az alapja, és konkrét tárgyakat használt szimbólumként: egy zászló 20 egységgel, egy toll vagy néhány hajszál 400, egy táska vagy zsák 8000 volt, többek között.
- A görög számrendszer.Konkrétan a jón, amelyet a Földközi-tenger keleti részén találtak fel és terjedtek el az ie IV. C., amely felváltja a már meglévő akrofonikus rendszert. Ez egy alfabetikus rendszer volt, amely betűket használt a számok jelentésére, a betűt az ábécében elfoglalt sarkalatos helyével egyeztetve (A=1, B=2). Így minden 1-től 9-ig terjedő számhoz egy betűt rendeltek, minden tízhez egy másik betűt, minden százhoz egy másikat, mígnem 27 betűt használtak fel: a görög ábécé 24-ét és három speciális karaktert.
Félpozíciós számrendszerek
A félpozíciós rendszerek egy fejlettebb gazdaság igényeire reagáltak.
A félpozíciós számrendszerek egyesítik az egyes szimbólumok fix értékének fogalmát bizonyos pozicionálási szabályokkal, így felfoghatók a pozicionális és nem-pozíciós hibrid vagy vegyes rendszerként. Élvezik a nagy számok ábrázolásának lehetőségét, a számsorrend kezelését és a formális eljárásokat, például a szorzást, így előrelépést jelentenek a komplexitás terén a nem pozicionális rendszerekhez képest.
A félpozíciós rendszerek megjelenése nagymértékben felfogható egy hatékonyabb számozási modell felé való átmenetként, amely egy fejlettebb gazdaság összetettebb igényeit is kielégítheti, mint amilyen a klasszikus ókor nagy birodalmaié.
Példák erre a számozási modellre:
- A római számrendszer. A római ókorban keletkezett, a mai napig fennmaradt. Ebben a rendszerben a figurákat a latin ábécé bizonyos nagybetűivel (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 stb.) építettük fel, amelyek értéke rögzített és összeadás és kivonás alapján működött, attól függően, hogy ahol a szimbólum megjelenik.Ha a szimbólum egy azonos vagy kisebb értékű szimbólumtól balra volt (mint a II = 2 vagy XI = 11), a teljes értékeket össze kell adni; míg ha a szimbólum egy nagyobb értékű szimbólumtól balra volt (például IX = 9 vagy IV = 4), akkor ezeket ki kellett vonni.
- A klasszikus kínai számrendszer. Eredete körülbelül ie 1500-ig nyúlik vissza. C. és a számok saját szimbólumaikon keresztül történő vertikális ábrázolásának nagyon szigorú rendszere, amely két különböző rendszert kombinál: az egyiket a köznyelvi és a mindennapi íráshoz, a másikat pedig a kereskedelmi vagy pénzügyi nyilvántartásokhoz. Ez egy tizedes rendszer volt, amely kilenc különböző jelet tartalmazott, amelyeket egymás mellé lehetett helyezni, hogy hozzáadják az értékeket, néha speciális jelet szúrva be, vagy a jelek helyének felváltva jelezve egy adott műveletet.
Helyzetszámrendszerek
A jelenlegi számozási rendszer a hindu-arab rendszerből származik.A helyzetszámrendszerek a létező háromféle számrendszer közül a legbonyolultabbak és leghatékonyabbak. A szimbólumok megfelelő értékének és a helyzetükhöz rendelt értéknek a kombinációja lehetővé teszi, hogy nagyon magas figurákat építsenek nagyon kevés karakterből, mindegyik értékét hozzáadva és/vagy megszorozva, ami sokoldalúbbá és modernebbé teszi őket.
A pozicionáló rendszerek általában rögzített szimbólumkészletet használnak, és ezek kombinációja révén a többi lehetséges figura a végtelenségig jön létre anélkül, hogy új jeleket kellene létrehozni, hanem új szimbólumoszlopok avatásával. Ez természetesen azt jelenti, hogy a karakterlánc hibája a szám összértékét is megváltoztatja.
Az ilyen típusú rendszerek első példái a nagy birodalmakban vagy a kulturális és kereskedelmi kérdésekben legigényesebb ősi kultúrákban, például a Kr. e. második évezred babiloni birodalmában jelentek meg. C. Példák az ilyen típusú számozási rendszerre:
- A modern decimális rendszer.Csak a 0-tól 9-ig terjedő számjegyekkel lehetővé teszi bármilyen szám létrehozását, olyan oszlopok hozzáadásával, amelyek értéke a jobbra lépés során hozzáadódik, és a tízet veszi alapul. Így, ha az 1-hez szimbólumokat adunk, 10-et, 195-öt, 1958-at vagy 19589-et építhetünk fel. Fontos tisztázni, hogy a használt szimbólumok hindu-arab számokból származnak.
- A hindu-arab számrendszer. India ősi bölcsei találták ki, majd a muszlim arabok örökölték, és Al-Andaluson keresztül jutott el Nyugatra, és végül felváltotta a római számok hagyományos. Ebben a rendszerben a modern decimálishoz hasonlóan a 0-tól 9-ig terjedő mértékegységeket meghatározott karakterjelek jelölik, amelyek mindegyik értékét vonalak és szögek segítségével ábrázolták. Ennek a rendszernek a működési rendszere alapvetően megegyezik a modern nyugati decimális rendszerrel.
- A maja számrendszer. Matematikai tranzakciók helyett az idő mérésére hozták létre, alapja vigesimális volt, szimbólumai pedig a Kolumbusz előtti civilizáció naptárának felelnek meg. A 20-ra 20-ra csoportosított figurákat alapjelekkel (csíkokkal, pöttyökkel és csigákkal vagy kagylókkal) ábrázolják; és a következő pontszámra lépéshez egy pontot adunk az írás következő szintjén. Ezen kívül a maják az elsők között használták a nulla számot.